済ます 済ませる

質問します
済ます　と　済ませるですが、
明解も広辞苑も別立てに出ていますね。だから済ますと済ませるは同じように使われる別の動詞で活用も違いますよね。でも、済ませる　は　済ます　と同じ　しかかいてありません。
済ますが優勢ですよ。
せるは使役的な感じですね。
①早く宿題をすませなさい。
②早く宿題をすましなさい。だと①を選びたいですが。
明解には　夕食をうどんで済ます｛間に合わせる｝が出ていますから、まちがいとは言いにくいですよね。答えになっていないけど。

お答えします

古語の活用の変化からきているので同じ意味でいいと思います。

「済ます　ーー今朝はコーヒーとパンで済ました。毎朝コーヒーとパンで済ましている。」
間違いではないと思います。
「済ましている」「済ました」は「澄ましている」「澄ました」が連想されるので使役の響きが感じられる「済ませている」が多くつかわれるようになったのでしょう？

他にも同じような言葉があります。前にわたしたちで問題になった使役形の変化に関係があるかも。
もともと使役の助動詞「す」（４段の活用）が「さす」（下２）へ　
そして下１や5段に時代ともに変化している例の一つでしょう。
（変化の仕方はほかにもあるけど）
寝かせる（下1）　寝かす（5段）　　子供を寝かせといて　　　　　子供を寝かしといて
泣かせる　　　　　泣かす　　　　　「おせん」を泣かせるな　　　「おせん」供泣かすな
任せる　　　　　　任す　　　　　　　お前に任せたぞ　　　　　　　お前に任したぞ


ただし、日本語学校の問題としてはおかしいと思います。
学生の混乱を避けるために初級では教科書に出てきた形を選択肢には載せるべきです。
問題が間違っていたと学生に伝え、全部○にして
「済ます」「済ましている」も間違いではないけれど「済ませる」「済ませている」の方がよくつかわれる
と解説すればいいのでは？

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